1. Tóm tắt đề bài

Cho hai số nguyên dương ~m, n~. Tính tổng tất cả các tích ~i \times j~ thỏa mãn điều kiện ~1 \le i \le m~, ~1 \le j \le n~ và tổng chỉ số ~i + j~ là một số chẵn.

~ S = \sum_{\substack{1 \le i \le m \\ 1 \le j \le n \\ (i + j) \text{ chẵn}}} (i \times j) ~

• Dữ liệu vào (Input): Nhập hai số nguyên dương ~m, n~ (~1 \le m, n \le 10^3~).
• Dữ liệu ra (Output): In ra kết quả sau khi chia lấy dư cho ~MOD = 10^9 + 7~.

2. Phân tích bài toán & Giới hạn

• Giới hạn: ~m, n \le 10^3~.
• Nhận xét về điều kiện ~i + j~ là số chẵn:
  • Tổng của hai số là số chẵn khi và chỉ khi hai số đó cùng tính chẵn lẻ (cả ~i, j~ cùng là số lẻ, hoặc cả ~i, j~ cùng là số chẵn).
• Với ~m, n \le 10^3~, số cặp ~(i, j)~ cần xét tối đa là ~m \times n \le 10^6~ cặp. Ngưỡng này hoàn toàn chạy tốt trong thời gian cho phép (~< 0.05~ giây) với hai vòng lặp lồng nhau, rất dễ hiểu và phù hợp với học sinh THCS.

3. Thuật toán xử lý

• Ý tưởng:

  1. Khởi tạo biến tổng ans = 0.
  2. Sử dụng hai vòng lặp lồng nhau:
     • Vòng ngoài: cho biến ~i~ chạy từ ~1~ đến ~m~.
     • Vòng trong: cho biến ~j~ chạy từ ~1~ đến ~n~.
  3. Tại mỗi cặp ~(i, j)~:
     • Kiểm tra điều kiện: nếu ~(i + j) \% 2 == 0~:
       • Cộng dồn tích vào kết quả: ans = (ans + (1LL * i * j)) % MOD.
  4. Sau khi duyệt hết các cặp, in ra giá trị ans.

• Độ phức tạp:

  • Thời gian: ~\mathcal{O}(m \times n)~ — với ~m, n \le 10^3~, số phép toán tối đa là ~10^6~, thực thi gần như tức thời.
  • Không gian (bộ nhớ): ~\mathcal{O}(1)~.